С помощью определённого интеграла можно вычислять не только площади плоских фигур, но и объёмы тел, образованных вращением этих фигур вокруг осей координат.

Тело, которое образуется вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции y = f(x) , имеет объём

Аналогично объём v тела, полученного вращением вокруг оси ординат ( Oy ) криволинейной трапеции выражается формулой

При вычислении площади плоской фигуры мы узнали, что площади некоторых фигур могут быть найдены как разность двух интегралов, в которых подынтегральные функции - те функции, которые ограничивают фигуру сверху и снизу. Похоже обстоит дело и с некоторыми телами вращения, объёмы которых вычисляются как разность объёмов двух тел, такие случаи разобраны в примерах 3, 4 и 5.

Пример 1. Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс ( Ox ) фигуры, ограниченной гиперболой , осью абсцисс и прямыми , .

Решение. Объём тела вращения найдём по формуле (1), в которой , а пределы интегрирования a = 1 , b = 4 :

Решение. Рассмотрим шар как тело, получащееся при вращении вокруг оси абсцисс полукруга радиуса R с центром в начале координат. Тогда в формуле (1) подынтегральная функция запишется в виде , а пределами интегрирования служат -R и R. Следовательно,

Пример 3. Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс ( Ox ) фигуры, заключённой между параболами и .

Решение. Представим искомый объём как разность объёмов тел, полученных вращением вокруг оси абсцисс криволинейных трапеций ABCDE и ABFDE . Объёмы этих тел найдём по формуле (1), в которой пределы интегрирования равны и - абсциссам точек B и D пересечения парабол. Теперь можем найти объём тела:

Пример 4. Вычислить объём тора (тором называется тело, получающееся при вращении круга радиуса a вокруг оси, лежащей в его плоскости на расстоянии b от центра круга ( ). Форму тора имеет, например, баранка).

Решение. Пусть круг вращается вокруг оси Ox (рис. 20). Объём тора можно представить как разности объёмов тел, полученных от вращения криволинейных трапеций ABCDE и ABLDE вокруг оси Ox.

Используя разность объёмов тел, получаем для объёма тора v выражение

Пример 5. Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси ординат ( Oy ) фигуры, ограниченной линиями и .

Решение. Представим искомый объём как разность объёмов тел, полученных вращением вокруг оси ординат треугольника OBA и криволинейной трапеции OnBA . Объёмы этих тел найдём по формуле (2). Пределами интегрирования служат и - ординаты точек O и B пересечения параболы и прямой. Таким образом, получаем объём тела: